經典賭博遊戲21點背後的數學奧秘

21點又名黑傑克(Blackjack),起源於法國,已流傳到世界各地,有着悠久的歷史。就像斗地主中的王炸,初始牌拿到A與10則稱作“黑傑克(Blackjack)”,直接取勝,這也是21點又名“Blackjack”的原因。相較於德州撲克、老虎機這些賭場遊戲,21 點親民得多。

21點

  我們先來講講規則

撲克中兩張鬼牌先剔除,其餘的牌 2~9 分別記作 2~9 點,10、J、Q、K 記作 10 點,A 視情況記 作 1 或 11 點。

遊戲的勝負判定很簡單,執牌雙方將手牌點數相加,通過比大小決定輸贏。

  總數相加最大隻能 21 點,超過 21 點則為“爆牌”直接失敗,数字相同則為平局。

賭場特色的 21 點

  賭場21點的規則:

遊戲雙方分為莊家、玩家,所有玩家只需和莊家比大小。

  通常莊家會在半圓形牌桌上應戰 5~7 名玩家,因為撲克牌一般也為兩副及兩副以上。

  莊家由賭場方擔任,玩家各自決定單局籌碼,隨後遊戲開始!

  首回合,玩家與莊家各獲得兩張初始牌,一張翻開一張合上。

  隨後而玩家可以選擇:拿一張牌(Hit)、結束拿牌(Stand)

  當然,如果局勢大好也可以選擇賭注翻倍並拿牌(Double)

  還有一種情況,當兩張初始牌相同,可將它們分開,另外壓一份賭注,再次補充至兩張,相當於同一局玩兩次(Split)。

  如果局勢不佳,有的賭場還允許選擇認輸(Surrender)

  等所有玩家結束拿牌后,莊家看牌,並按規則操作:大等於17點則不拿牌,反之拿牌直至17點,爆牌則所有玩家獲勝。

多種玩法

  21 點並不複雜,感覺更像依靠運氣的遊戲,但實則不然,21 點的樂趣頗似魔方,不懂的時候只能隨意玩玩,一旦把握了公式就像打開了新世界的大門。

  作為一款被數學家一直欺負的遊戲,絕對是有它好欺負的一面。

  1931 年,美國內華達州宣布賭博合法化,21 點開始公開出現在賭博俱樂部,一舉成為繼骰子遊戲后最風行的莊家遊戲。

  2008 年上映的美國賭博電影《決勝 21 點》,正是圍繞 21 點開展的故事。影片中,主角所在的麻省理工學院,有一個秘密團隊 Blackjack Team。

  這個以高智商成員組建的團隊,便是靠着鑽研數學技巧在 21 點賭桌上取勝。正是這部電影將賭徒諺語“Winner winner,chicken dinner”,首次捧火。

“21”(2008)

  電影中的吃雞大神,在現實中的原型叫馬愷文

  馬愷文被譽為“華裔賭神”,他憑藉團隊和數學,在賭場大賺 500 萬美元從而名震算牌界。

  馬愷文在 MIT 讀大三時,是個品學兼優的好學生。一次他受邀參加一個 21 點算牌興趣組,原以為這隻是一個以 21 點為攻略對象的數學研討小組,卻不料上了賊船。

  馬愷文天賦異稟,很快受到神秘教授(從沒有人願意透露他的身份)的認可,成為了小組的核心靈魂。

馬愷文(左)

  隨後,被選召的孩子們在教授的帶領下,開始到賭場實踐。他們不斷打磨技術、調整策略,終於走上贏錢道路。第一次贏錢時,馬愷文還給自己買了塊 2000 美元的手錶,一直保留至今。

  他們將賭場當提款機,每周就帶着 10 萬美元去贏幾十萬美元。賭場也不傻,他們很快被列入黑名單,經常一進場就被服務員“請出”賭場。為了繼續提款,他們只得喬裝打扮混入場,有時是穿金戴銀的土豪、有時是下班發洩慾望的職員……

  在 90 年代中期,他們就以 20 來歲的年紀享受在賓館里數錢為樂的生活。

  但 Blackjack Team 所使用的技巧並非什麼絕密神技。只需將 21 點的遊戲,細細拆分便能理解。

  之所以將 21 點說成是賭場最容易贏錢的遊戲,是因為在掌握最佳策略的情況下,玩家勝率高達 49% 。而最佳策略也不難掌握,其實就是“算概率”。

  假設玩家初始牌點數為12點,莊家明牌為7,計算拿牌與結束拿牌兩種選擇的勝率。

  ①選結束拿牌(Stand)時,獲勝情況僅一種:

  莊家爆牌,設概率為P(S)

  莊家的另一張牌有 13 種可能性,概率計算如下

  F(T+7)時,莊家不抽牌則不爆牌,不考慮

  (以 T 代表10、J、Q、K)

  F(9+7)時,抽中 6~T 則爆牌,F(9+7)=8/13

  ……

  以此類推,最終P(S)=∑F=0.26231

  ②選拿牌(Hit)時,獲勝情況兩種:

  莊家爆牌,玩家不爆;莊家玩家均不爆牌,但玩家更大,設概率為P(H)

  爆牌概率同上,但還得算上玩家情況,即(1-4/13)

  不爆牌獲勝,則有以下可能

  1。玩家拿到 21 點,莊家拿到 20~17 點

  2。玩家拿到 20 點,莊家拿到 19~17 點

  3。玩家拿到 19 點,莊家拿到 18 和 17 點

  4。玩家拿到 18 點,莊家拿到 17 點

  以最簡單的情況 4 作計算

  先分析,玩家從 12 到 13,只有抽到 A 一種可能

  因此設 W(12)=1

  則 W(13)=W(12)*1/13=0.07692

  以此可推算 W(18)

  而莊家拿 17 點,用同理可算 Z(17)

  P4=W(18)+Z(17),同理可算 P1、P2、P3

  P(H)=P1+P2+P3+P4+P(S)*9/13=0.43577

  對比,P(H)>P(S),因而當玩家手牌為12,莊家明牌為7時,應該選擇Hit為最優策略。

所有情況下的選擇

  最優策略能幫玩家做出正確選擇,將勝率拉至 49%,數學的威力可見一斑。但明眼人肯定能發現,最優策略也不是很好。

  不僅將抽所有牌概率當作 1/13,同時最優策略勝率也不能保證 50% 以上。有什麼方法可以再提高一下勝率?這個問題也困擾了不少數學家。